底の変換公式に以下のようなものがあります。

$$
\log_{a}b = \frac{ \log_{c}b }{ \log_{c}a }
$$

そもそもなぜこうなるんだっけ?
ということを証明していきましょう。


まず、
$$
\log_{a}b = c \tag{1}
$$
とおきます。
(1)を指数の形で表すと
$$
a^c = b \tag{2}
$$
となりますね。
(2)について、\(c\)を底として両辺の対数をとって整理してみましょう。
\begin{align}
\log_{c}a^c &= \log_{c}b\\
c\log_{c}a &= \log_{c}b\\
c &= \frac{ \log_{c}b }{ \log_{c}a } \tag{3}
\end{align}
(1),(3)より以下のようになります。
$$
\log_{a}b = \frac{ \log_{c}b }{ \log_{c}a } \tag{4}
$$


以上が底の変換公式の証明でした。

公式を覚えておくというより、
「そういえば、底の変換公式あったなー」みたいな感じで、自分で求められるようにしておくといいですね。